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Sequência de Fibonacci

O matemático Leonardo Pisa, conhecido como Fibonacci, propôs no século XIII, a sequência numérica abaixo:

(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...)

Essa sequência tem uma lei de formação simples: cada elemento, a partir do terceiro, é obtido somando-se os dois anteriores. Veja: 1+1=2, 2+1=3, 3+2=5 e assim por diante.

Desde o século XIII, muitos matemáticos, além do próprio Fibonacci, dedicaram-se ao estudo da seqüência que foi proposta, e foram encontradas inúmeras aplicações para ela no desenvolvimento de modelos explicativos de fenômenos naturais.

Veja algumas exemplos das aplicação da seqüência de Fibonacci e entenda por que ela é conhecida como uma das maravilhas da Matemática.

A partir de dois quadrados de lado 1, podemos obter um retângulo de lados 2 e 1. se adicionarmos a esse retângulo um quadrado de lado 2, obtemos um novo retângulo 3x2. Se adicionarmos agora um quadrado de lado 3, obtemos um retângulo 5x3. Observe a figura a seguir e veja que os lados dos quadrados que adicionamos para determinar os retângulos formam a sequência de Fibonacci.

Se utilizarmos um compasso e traçarmos o quarto de circunferência inscrito em cada quadrado, encontraremos uma espiral formada pela concordância de arcos cujos raios são os elemento da seqüência de Fibonacci.

O Partenon  que foi construído em Atenas pelo celebre arquiteto grego Fidias. A fachada principal do edifício, hoje em ruínas, era um retângulo que continha um quadrado de lado igual à altura. Essa forma sempre foi considerada satisfatória do ponto de vista estético por suas proporções sendo chamada retângulo áureo ou retângulo de ouro.

Como os dois retângulos indicados na figura são semelhantes temos:

Como:

Subtituindo (2) em (1) temos:

Resolvendo a equação:

Logo:

Esse número é conhecido como número de ouro e pode ser representado por:

Todo retângulo em que a razão entre o maior e o menor lado for igual a Φ é chamado retângulo áureo como o caso da fachada do Partenon.

O que é a sequência de Fibonacci?

É uma sucessão de números que, misteriosamente, aparece em muitos fenômenos da natureza. Descrita no final do século 12 pelo italiano Leonardo Fibonacci, ela é infinita e começa com 0 e 1. Os números seguintes são sempre a soma dos dois números anteriores. Portanto, depois de 0 e 1, vêm 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…

Ao transformar esses números em quadrados e dispô-los de maneira geométrica, é possível traçar uma espiral perfeita, que também aparece em diversos organismos vivos. Outra curiosidade é que os termos da sequência também estabelecem a chamada “proporção áurea”, muito usada na arte, na arquitetura e no design por ser considerada agradável aos olhos. Seu valor é de 1,618 e, quanto mais você avança na sequência de Fibonacci, mais a divisão entre um termo e seu antecessor se aproxima desse número.

GIRANDO, GIRANDO

Exemplos na natureza em que a sequência ou a espiral de Fibonacci aparece

CONCHA DO CARAMUJO

Cada novo pedacinho tem a dimensão da somados dois antecessores

CAMALEÃO

Contraído, seu rabo é uma das representações mais perfeitas da espiral de Fibonacci

ELEFANTE

Se suas presas de marfim crescessem sem parar, ao final do processo, adivinhe qual seria o formato?

GIRASSOL

Suas sementes preenchem o miolo dispostas em dois conjuntos de espirais: geralmente, 21 no sentido horário e 34 no anti-horário

PINHA

As sementes crescem e se organizam em duas espirais que lembram a de Fibonacci: oito irradiando no sentido horário e 13 no anti-horário

POEMA CONTADINHO

Acharam o “número de ouro” até na razão entre as estrofes maiores e menores da Ilíada, épico de Homero sobre os últimos dias da Guerra de Troia

A BELEZA DESCRITA EM NÚMEROS

A “Proporção de ouro” aparece tanto em seres vivos quanto em criações humanas. Na matemática, a razão dourada é representada pela letra grega phi: φ

PARTENON

Os gregos já conheciam a proporção, embora não a fórmula para defini-la. A largura e a altura da fachada deste templo do século V a.C. estão na proporção de 1 para 1,618

ARTES

Esse recurso matemático também foi uma das principais marcas do Renascimento. A Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, usa a razão na relação entre tronco e cabeça e entre elementos do rosto

AS GRANDES PIRÂMIDES

Mais um mistério: cada bloco é 1,618 vezes maior que o bloco do nível imediatamente acima. Em algumas, as câmaras internas têm comprimento 1,618 vezes maior que sua largura

OBJETOS DO COTIDIANO

Vários formatos de cartão de crédito já foram testados. O que se sagrou favorito do público têm laterais na razão de ouro. Fotos e jornais também costumam adotá-la

ROSTO

Dizem que, nas faces consideradas mais harmoniosas, a divisão da distância entre o centro da boca e o “terceiro olho” pela distância entre esse ponto e uma das pupilas bate no 1,618

CORPO

Se um humano “mediano” dividir sua altura pela distância entre o umbigo e a cabeça, o resultado será algo em torno de 1,618

MÃOS

Com exceção do dedão, em todos os outros dedos as articulações se relacionam na razão áurea

Desvio Padrão

O desvio padrão é uma medida de dispersão usada com a média. Mede a variabilidade dos valores à volta da média. O valor mínimo do desvio padrão é 0 indicando que não há variabilidade, ou seja, que todos os valores são iguais à média.
A fórmula de cálculo do desvio padrão para os valores x₁, x₂, x₃,…, x_n de uma amostra é a seguinte:

Por convenção, usa-se a letra grega s (sigma) para o desvio padrão da população e s para o desvio padrão da amostra
NOTA: Por razões matemáticas que não estão no âmbito deste manual, no caso do cálculo do desvio padrão da população deve-se usar como quociente da fórmula n em vez de n-1, e a média da população em vez da média da amostra.
Exemplo: Consideremos os seguintes dados:
 

Nome	Idade	Nome	Idade
Paula	22	Gonçalo	22
Manuel	24	Pedro	20
Carla	26	Cristina	24
Maria	23	Sofia	28
João	21	Susana	30

 
A média das idades é:
(22+24+26+23+21+22+20+24+28+30) /10 = 24 anos.
O desvio padrão é:

Medidas de Dispersão

As medidas de posição (média, mediana, moda...) descrevem apenas uma das características dos valores numéricos de um conjunto de observações, o da tendência central. Porém, nenhuma delas informa sobre o grau de variação ou dispersão dos valores observados. Em qualquer grupo de dados os valores numéricos não são semelhantes e apresentam desvios variáveis em relação a tendência geral de média.
 As medidas de dispersão servem para avaliar o quanto os dados são semelhantes, descreve então o quanto os dados distam do valor central. Desse jeito, as medidas de dispersão servem também para avaliar qual o grau de representação da média. È fácil demonstrar que apenas a média é insuficiente para descrever um grupo de dados. Dois grupos podem ter a mesma média, mas serem muito diferentes na amplitude de variação de seus dados. Por exemplo: -Grupo A (dados observados): 5; 5; 5. -Grupo B (dados observado): 4; 5; 6. -Grupo C (dados observados): 0; 5; 10. A média dos três grupos é a mesma (5), mas no grupo “A” não há variação entre os dados, enquanto no grupo “B” a variação é menor que no grupo “C”. Dessa forma, uma maneira mais completa de apresentar os dados (além de aplicar uma medida de tendência central como a média) é aplicar uma medida de dispersão.
 As principais medidas de dispersão são:
 - Amplitude total: é a diferença entre o valor maior e o valor menor de um grupo de dados; 
- Soma dos quadrados: é baseada na diferença entre cada valor e a média da distribuição;
 - Variância: é a soma dos quadrados dividida pelo número de observações do grupo menos 1;
 - Desvio padrão: é expresso na mesma medida das variaçõe (Kg, cm, m³ ...).

Triangulo de Pascal - Analise Combinatória

O Triângulo de Pascal muito utilizado em Análise Combinatória, recebe esse nome devido ao matemático Blaise Pascal (1623-1662). Embora os chineses já o conhecessem a mais de 500 anos antes de Pascal, Foi ele quem descobriu a maioria de suas propriedades.

Uma das formas (a mais usual) de construir um triângulo de Pascal é na forma de um triângulo isósceles, preenchemos com 1´s os lados do triângulo  a partir do vértice superior e para obter os  números  em cada linha,  somamos os dois números logo acima dele na linha superior, por exemplo: 2=1+1, ou seja, o número 2 da terceira linha é igual à soma de 1+1, os dois números logo acima dele na segunda linha, assim 3=1+2,  6=3+3, 10=4+6,etc. A figura abaixo mostra o triângulo de Pascal até a sexta linha:

As propriedades interessantes do triâgulo de Pascal são as seguintes:

Cada linha representa os números binomiais na expansão de (x+y)ⁿ, n≥0. Por exemplo,

(x+y)³=1.x³ + 3x²y + 3xy² + 1.y³ e na quarta linha temos 1 3 3 1.

Ocorre que sabemos pelo  Binômio de Newton que cada número do triângulo de Pascal será um coeficiente binomial, ou seja, na (n+1)-ésima linha o (k+1)-ésimo número será:

Por exemplo, na 5ª linha o terceiro número é:

Pela construção do triângulo de Pascal, temos:

Relação de Stiffel

Por exemplo, 10=4+6, ou seja:

A soma de todos os números na (n+1)-ésima linha é igual a 2ⁿ. Por exemplo, na 1ª linha a soma é 2⁰=1, na 4ª linha  2³=8, etc.

O triângulo de Pascal é simétrico em relação a sua  altura pois

Se somarmos a diagonal também temos o seguinte resultado:

Por exemplo, na 3ª diagonal: 1+3+6+10=20, ou

Triangulo de Pascal

O Triângulo de Pascal possui várias nomenclaturas: chamado pelos italianos de Triângulo de Tartaglia, pelos chineses de triângulo de Yang Hui e encontramos outras denominações como triângulo de Tartaglia - Pascal ou simplesmente triângulo aritmético ou triângulo combinatório. 

Todos esses triângulos são formados por coeficientes binomiais (números binomiais), a sua organização é feita da seguinte forma: 

• Todos os coeficientes de mesmo numerador são colocados na mesma linha. 
• Todos os coeficientes de mesmo denominador são colocados na mesma coluna. 

Veja como ficaria a construção do triângulo de Pascal: 

Cada coeficiente binomial que forma o Triângulo de Pascal possui um valor numérico encontrado através: dos casos particulares dos coeficientes, das suas propriedades ou da fórmula da combinação. Veja como ficaria o Triângulo de Pascal com seus valores numéricos: 

1 
1 1 
1 2 1 
1 3 3 1 
1 4 6 4 1 . . . 
. . . . . 
. . . . . 
. . . . .

Bandas de Bollinger

As Bandas de Bollinger estão entre os indicadores mais utilizado na análise técnica.

São muito úteis para indicar níveis de preço e que uma ação pode ter se valorizado ou desvalorizado demais, além de indicarem sinais de Fundo em W e Topos em M.

Neste artigo você aprenderá o que deve saber para utilizar este indicador corretamente e como você pode utilizar as Bandas de Bollinger na prática com nossa plataforma de Análise Técnica.

Vantagens da Banda de Bollinger

John Bollinger, criador das Bandas de Bollinger

Baseado na ideia de que os preços das ações costumam variar dentro de um padrão, inicialmente foram desenvolvidos os indicadores de envelope. São traçadas linha acima e abaixo do preço, ficando sempre uma distância percentual constante entre o preço e as linhas de envelope.

Por exemplo, a linha superior poderia ser 110% do preço, enquanto a linha inferior seria 90% do preço.

Os indicadores de envelope foram muito utilizados, porém tinham uma limitação grande: a variação nos preços são maiores ou menores em alguns períodos e este indicador fica inalterado frente a essas mudanças.

Até o dia em que John Bollinger, teve uma ideia que pôs um fim a esta limitação.

John começou a usar o desvio padrão dos últimos períodos para calcular a distância das linhas acima e abaixo do preço. No alto de sua modéstia, deu o nome de “Bandas de Bollinger” e em 2011 até registrou o nome, de modo que agora deve-se usar Bandas de Bollinger®. Você pode visitar o site oficial do John aqui.

“O que é Desvio Padrão?!”

Sim. O desvio padrão é uma medida de quanto os preços variaram nos últimos períodos.

Vamos supor que o preço de uma ação ficou entre R$ 10 e R$ 11, enquanto outra ação ficou entre R$ 5 e R$ 15. O desvio padrão da segunda ação será muito maior e consequentemente as Bandas de Bollinger estarão mais afastadas na segunda ação do que na primeira.

Note que diferente dos envelopes, a largura das Bandas de Bollinger se adapta automaticamente com base na volatilidade dos preços, tornando-se mais larga ou mais estreita.

A largura da Banda de Bollinger (BB Width ou BB%) deu origem a um outro indicador, mas isso contaremos em outro artigo.

Fórmula das Bandas de Bollinger

Felizmente, o cálculo das Bandas do sr. John B. é simples.

Ambas as bandas são calculadas com base em uma média móvel simples (MMS) (20 dias costuma ser o padrão, mas pode ser alterado):

• Banda Superior = Média Móvel Simples (20 dias) + (2 x Desvio Padrão de 20 dias)
• Banda Inferior = Média Móvel Simples (20 dias) – (2 x Desvio Padrão de 20 dias)

Veja que na formula original são usados 2 desvios padrões, mas você pode alterar este parâmetros quando for usar este indicador. O próprio Bollinger sugere que alterações suaves sejam feitas para adequar o indicador ao estilo da análise:

• Longo Prazo: usar 2.1 desvios padrões com 50 períodos
• Curto Prazo: usar 1.9 desvios padrões com 10 períodos.

Como utilizar as Bandas de Bollinger?

Ok. Já expliquei a história e como são calculados os valores, agora vamos ao que interessa, para que servem as Bandas de Bolliger:

Sinais de Fundo em W:

Fundos em W são consequência do trabalho de um outro grafista: Arthur Merril’s, que identificou 16 padrões com um formato de W e as Bandas de Bollinger permitem justamente identificar estes padrões.

Os fundo em W são formados com uma tendência de baixa, seguida por duas reações. Existem quatro passos para identificar um fundo W com as Bandas de Bollinger:

1. Uma nova baixa é formada, onde a mínima em geral está abaixo da banda inferior
2. Ocorre um rebate em direção a banda do meio (a Média Móvel Simples)
3. Ocorre uma nova baixa, onde a mínima está acima da banda inferior
4. O padrão é confirmado com um arrancada da segunda baixa, ocorrendo o rompimento de uma resistência

Os Sinais de Fundo em W marcam o início de uma nova tendência de alta. O investidor deve utilizar outros indicadores de análise técnica para confirmar a força desta tendência e o momento correto de entrar.

Veja esta situação ocorrendo para no gráfico da MRVE3:

Sinais de Topo em M:

Se virarmos o W de cabeça para baixo teremos o Sinal de Topo em M. Os mesmo passos valem aqui, porém ao obviamente ao contrário:

1. Uma nova alta é formada, onde a máxima em geral está acima da banda superior
2. Existe um rebate em direção a banda do meio (a Média Móvel Simples)
3. Ocorre uma nova máxima, onde a máxima está abaixo da banda superior
4. O padrão é confirmado com uma queda da segunda alta, ocorrendo o rompimento de uma resistência

Os sinais de Topo em M marcam o início de uma nova tendência de baixa, que como no caso do fundo em W, deve ser confirmada com outros indicadores de análise técnica.

Na figura a seguir veja esta situação ocorrendo para o gráfico da VALE3.

Note que o sinal pode ser confirmado pelo aumento de Volume neste papel.

Movimentos Pelas Bandas

O preço das ações frequente se movimenta acima ou abaixo das Bandas de Bollinger, portanto não pense que isso seja um sinais de compra e venda por si só.

No entanto, o que podemos afirmar com certeza é que o movimento que cruza a Banda superior mostra bastate força, enquanto que um movimento que cruza a Banda inferior mostra muita fraqueza.

Desse modo fala-se que os preços podem “caminhar pelas Bandas” com diversos cruzamentos durante uma tendência de alta ou baixa.

O fechamento de um Candle acima da Banda superior mostra que o preço realizou um forte movimento e nestas ocasiões e comum que a Média Móvel Simples central sirva como resistência durante a tendência de alta.

Veja esta situação no gráfico da PETR4:

Conclusões:

As Bandas de Bollinger são importantes porque ajudam a determinar valores relativos onde os preços podem estar altos ou baixos.

De acordo como próprio Bollinger, as Bandas contém de 90% a 95% do movimento dos preços e os movimentos para fora dessas bandas devem ser analisados com atenção.

O cruzamento do preço com alguma das bandas não deve ser interpretado como um sinal por si só. Ao invés disso as Bandas de Bollinger devem ser utilizadas em conjunto com outros indicadores complementares, que tenham uma natureza diferente da sua, como por exemplo o Volume ou o Índice de Força Relativa (IFR).

Utilize as Bandas de Bollinger agora

Você pode adicionar as Bandas de Bollinger em qualquer um dos ativos negociados na Bovespa, usando a plataforma de Análise Técnica do Bússola do Investidor.

Após selecionar as Bandas de Bollinger, configure os parâmetros de acordo com sua preferência (os padrões 20 e 2 já estarão preenchidos).

Adicione também uma Média Móvel Simples, utilizando os mesmos parâmetros das Bandas de Bollinger e algum indicador complementar, como o Volume ou o IFR.

Anexo Especial: Regras das Bandas de Bollinger

Além de criar este indicador, John Bollinger juntou 22 regras que ele e outros investidores observaram. Elas estão disponíveis no site do próprio Bollinger, e aqui estão as mais algumas:

1. As Bandas de Bollinger determinam valores relativos de preços altos (banda superior) e baixos (banda inferior).

2. Estes preços relativos podem ser usados para comprar o movimento dos ativos e o movimento deste indicador, auxiliando nas decisões de compra e venda.

3. Indicações podem ser derivadas em conjunto com outros indicadores complementares como os de momento, de volume e de força de mercado.

4. Como as Bandas de Bollinger estão na categoria de indicadores de volatilidade, não devem ser utilizadas com outros indicadores desta categoria.

5. As Bandas de Bollinger podem ser utilizadas para determinar padrões gráficos, como topos em “M” e fundos em “W”.

6. Cruzamentos ou encontros do preço com as bandas NÃO são sinais de compra ou venda por si só.

7. Durante uma tendência, seja de alta ou de baixa, o preço pode e irá cruzar com as bandas superior e inferior.

8. O fechamento de Candles fora das Bandas de Bollinger é um sinal de continuação de tendência e não de reversão.

9. Os parâmetros padrões de 20 períodos na media móvel e 2 períodos padrões são somente padrões. Eles devem ser alterados e adaptados para diferentes mercados.

10. O cruzamento do preço com o meio das Bandas de  Bollinger (a própria MMS de 20 dias) não deve ser considerado como o melhor indicador de uma nova tendência e sim como um nível intermediário de confirmação.

11. Quando o número de períodos é ampliado, o número de desvios padrões também deve ser aumentado: 2,1 desvios para 50 períodos e 1,9 desvios para 10 períodos.

12. A Média Móvel utilizada é a Simples porque na fórmula do desvio padrão também existe uma média simples. Isso garante consistência aos cálculos.

13. As Bandas de Bollinger podem ser utilizadas na grande maioria das series de preços, incluindo ações, índices, câmbio, commodities, futuros, opções e títulos.

14. As Bandas de Bollinger não fornecem uma sinalização constante, ao invés disso elas identificam estratégias onde o vento pode estar a seu favor.

Histograma

Um histograma é uma ferramenta de análise e representação de dados quantitativos, agrupados em classes de freqüência que permite distinguir a forma, o ponto central e a variação da distribuição, além de outros dados como amplitude e simetria na distribuição dos dados.

Os histogramas podem ser classificados de acordo com

 algumas características:

• O “histograma simétrico” ou de “distribuição normal” apresenta uma freqüência mais alta no centro e que vai diminuindo conforme se aproxima das bordas. Ele representa processos estáveis e padronizados.

• O “histograma assimétrico” quando apresenta apenas um ponto mais alto (pico), geralmente, representa uma situação onde a característica de qualidade possui apenas um limite de especificação e é controlada durante todo o processo.

•  O histograma chamado de “despenhadeiro”, ocorre quando foram eliminados dados o que corresponde ao “corte” na figura, dando a aparência de que o histograma está incompleto.

• O “histograma com dois picos” costuma acontecer quando há uma mistura de dados diferentes. Por exemplo, a análise de dois tipos de matérias-primas diferentes.

• O histograma do tipo “platô”, ocorre quando há diversas misturas de distribuições com médias diferentes.

• E, o histograma do tipo “ilha isolada”, ou “retângulos isolados”, representa um situação onde certamente houve alguma anormalidade no processo decorrente de alguma falha, erro de medição, etc.

Vídeo Aula de Métodos Quantitativos usado em negócios

Curva de Gauss

Uma curva de Gauss (curva em forma de sino) é um gráfico de distribuição normal de um determinado conjunto de dados e representa uma função que possui propriedades peculiares. Este nome se deve à suposição que o cientista Gauss tenha sido a primeira pessoa a fazer uso de suas propriedades.

A aplicação desta função em estatísticas é fundamental, pois define a probabilidade de ocorrência de certos eventos. Esta distribuição de probabilidades é definida pela função ou gráfico abaixo:

Esta curva é definida por dois parâmetros: sua média (µ) e sua variância (σ²). Dessa forma, são possíveis infinitas curvas normais, ora variando a média, ora a sua variância. Suas principais características são:

•	A variável x pode assumir qualquer valor real (-∞ a +∞)

•	Os valores de y são assintóticos em relação ao eixo das abscissas, isto é, nunca tocam o eixo de x.

•	A curva é simétrica é unimodal, apresentando um ponto de inflexão à esquerda (x = µ - 1σ) e outro à direita (x = µ + 1σ).

Alguns dos principais métodos empregados na análise estatística (teste t de Student, análise de variância, análise de regressão, etc.) exigem que os dados tenham distribuição normal.

Como se trata de distribuição de probabilidade contínua, a área que fica entre a curva e o eixo das abscissas representa a probabilidade. A probabilidade de ocorrer um evento entre os pontos a e b é calculada pela integral definida da função entre os pontos a e b.

A aplicação deste conceito no mercado de operadoras de plano de saúde, se resume em critérios para pagamento dos prestadores. Observando pelo gráfico acima, vemos que para determinadas situações a distribuição de Gauss se dá de forma máxima, sendo assim, serão utilizados coeficientes máximos para pagamento dos prestadores, já em outras situações o coeficiente se reduz.

Pirâmide de Conhecimento

  A pirâmide do conhecimento mede  o quão estamos familiarizados e aprofundados em relação ao um tema, separando em 4 etapas – Dados – Informação – Conhecimento – Sabedoria. Dados seria a etapa mais rasa que uma pessoa possa estar. Para efeitos comparativos, dados seria o dicionário, seguidamente da informação que seria enciclopédia.

Vamos especificar melhor as 4 Etapas:

•    Dados: Os dados podem consistir em números, palavras ou imagens, as medições e observações de um conjunto de variáveis; informações, registro que identifica alguma coisa tanto objeto ou animal.

•  Informações:  resultado do processamento, manipulação e organização de dados, de tal forma que represente uma modificação (quantitativa ou qualitativa) no conhecimento do sistema (pessoa, animal ou máquina) que a recebe.

• Conhecimento: Capacidade de abstrair ideias, noção, opinião, descrição análise de determine assunto.

•   Sabedoria:  Consiste  em aplicar o seu conhecimento em determinada tarefa, relacionamentos sociais dentro do ambiente de trabalho por exemplo, saber a hora certa de agir, como continuar procedimento e como realiza-lo de maneira correta.

   Hoje existem vários conceitos para esta palavra e é de ampla compreensão que conhecimento é aquilo que se sabe de algo ou alguém. Isso em um conceito menos específico. Contudo, para falar deste tema é indispensável abordar dado e informação.